Большая советская энциклопедия - логицизм
Логицизм
логицизм
Логицизм, направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом которого является утверждение о «сводимости математики к логике», т. е. возможности (и необходимости) определения всех исходных математических понятий (в рамках самой математики не определяемых) в терминах «чистой» логики и доказательства всех математических предложений (в том числе аксиом) опять-таки логическими средствами. Идеи Л. были выдвинуты еще Г. В. Лейбницем, но в развернутом виде эта доктрина впервые была сформулирована Г. Фреге, предложившим сведение основного математического понятия — понятия натурального числа — к объемам понятий и детально разработавшим логическую систему, средствами которой удавалось доказать все теоремы арифметики. Поскольку к тому времени в математике была практически завершена работа по сведению (в том же смысле, что и выше) основных понятий математического анализа, геометрии и алгебры к арифметике (посредством частичного сведения их друг к другу и выражения их понятий в терминах множеств теории), то, как считал Фреге, логицистическая программа была тем самым в основном выполнена. Но еще до выхода в свет 2-го тома работы Фреге «Основные законы арифметики» (1893—1903) Б. Рассел обнаружил в системе Фреге противоречие (называемое обычно парадоксом Рассела, см. Парадокс). Сам Рассел, однако, разделял основные тезисы программы Л.; он предпринял попытку «исправления» системы Фреге и «спасения» ее от противоречий. Решение этой задачи потребовало большой работы по последовательной и детальной формализации не только математики, но и кладущейся в ее основание (согласно программе Л.) логики. Итогом этой работы явился написанный Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом) трехтомный труд «Principia Mathematica» (1910—13). Главным новшеством системы Рассела — Уайтхеда (ниже РМ) явилось построение логики в виде «ступенчатого исчисления», или «теории типов». Формальные объекты этой теории разделялись на т. н. типы (ступени), и эта «иерархия типов» (а в др. модификациях системы РМ — еще дополнительная «иерархия уровней») позволила избавиться от всех известных парадоксов. Однако для построения классической математики средствами РМ к этой системе пришлось присоединить некоторые аксиомы (см. Типов теория), содержательно характеризующие важные свойства данного конкретного «мира математики» (и, конечно, соответствующего ему мира реальных вещей), а вовсе не являющиеся «аналитическими истинами», или, по Лейбницу, истинами, верными «во всех возможных мирах». Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика: как показал К. Гедель (1931), системы типа РМ (и все, не уступающие им по силе) существенно неполны — их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математические утверждения (см. Аксиоматический метод, Метаматематика). Т. о., программа Л. «чисто логического» обоснования математики оказалась невыполнимой. Тем не менее и результаты Рассела, и работы др. ученых, предложивших позднее различные усовершенствования системы РМ (например, работы американского математика У. ван О. Куайна), оказали громадное положительное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата. Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3. Ю. А. Гастев.
Рейтинг статьи:
Комментарии:
См. в других словарях
1.
направление в основаниях математики кон. 19 - нач. 20 вв., отвергающее кантовский тезис о синтетическом характере математических истин; рассматривает математику как чисто аналитическую науку, все понятия которой можно определить в рамках дедуктивной логики без использования каких-либо положений нелогического характера. Основные представители - Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед. Тезис о "сводимости математики к логике" оказался невыполнимым, вместе с тем логицизм способствовал развитию математической логики. ...Большой энциклопедический словарь
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Ссылка для сайта или блога:
Ссылка для форума (bb-код):
Самые популярные термины
1 | 4920 | |
2 | 3035 | |
3 | 3004 | |
4 | 2835 | |
5 | 2827 | |
6 | 2795 | |
7 | 2730 | |
8 | 2717 | |
9 | 2602 | |
10 | 2528 | |
11 | 2350 | |
12 | 2220 | |
13 | 2183 | |
14 | 2178 | |
15 | 2153 | |
16 | 2067 | |
17 | 2058 | |
18 | 2045 | |
19 | 2030 | |
20 | 1987 |